Σχεδόν πρώτος

Στη θεωρία αριθμών, ένας φυσικός αριθμός ονομάζεται σχεδόν πρώτος αν υπάρχει μία απόλυτη σταθερά K τέτοια ώστε ο αριθμός να έχει το πολύ K πρώτους παράγοντες.^[1]^[2] Ένας σχεδόν πρώτος αριθμός n συμβολίζεται ως P_r αν και μόνο αν ο αριθμός των πρώτων παραγόντων του n, μετρούμενοι κατά πολλαπλότητα, είναι το πολύ r.^[3] Ένας φυσικός αριθμός ονομάζεται k-σχεδόν πρώτος αν έχει ακριβώς k πρώτους παράγοντες, μετρούμενους κατά πολλαπλότητα. Πιο αυστηρά, ένας αριθμός n είναι k-σχεδόν πρώτος αν και μόνο αν Ω(n) = k, όπου Ω(n) είναι ο συνολικός αριθμός των πρώτων στην πρωτογενή ανάλυση του n:

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad

αν

\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

Ένας φυσικός αριθμός είναι συνεπώς πρώτος αν και μόνο αν είναι 1-σχεδόν πρώτος, και ημιπρώτος αν και μόνο αν είναι 2-σχεδόν πρώτος. Το σύνολο των k-σχεδόν πρώτων συνήθως συμβολίζεται με P_k. Ο μικρότερος k-σχεδόν πρώτος είναι 2^k. Οι πρώτοι k-σχεδόν πρώτοι είναι:

k	k-σχεδόν πρώτοι	ακολουθία OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276
16	65536, 98304, 147456, …	A069277
17	131072, 196608, 294912, …	A069278
18	262144, 393216, 589824, …	A069279
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281

Ο αριθμός των π_k(n) θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι ή ίσοι από τον n με το πολύ k πρώτους διαιρέτες (όχι κατά ανάγκη διακριτούς) είναι ασυμπτωτικός προς:^[4]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

αποτέλεσμα που οφείλεται στον Έντμουντ Λαντάου.

Παραπομπές

↑ Sándor, József· Dragoslav, Mitrinović S.· Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. σελ. 316. ISBN 978-1-4020-4215-7.
↑ Rényi, Alfréd A. (1948). «On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number» (στα ρώσικα). Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya 12 (1): 57–78. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3018&option_lang=eng.
↑ Heath-Brown, D. R. (May 1978). «Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 83 (3): 357–375. doi:10.1017/S0305004100054657. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2079092&fileId=S0305004100054657.
↑ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Weisstein, Eric W., "Almost prime" από το MathWorld.

[1] Sándor, József· Dragoslav, Mitrinović S.· Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. σελ. 316. ISBN 978-1-4020-4215-7.

[2] Rényi, Alfréd A. (1948). «On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number» (στα ρώσικα). Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya 12 (1): 57–78. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=3018&option_lang=eng.

[3] Heath-Brown, D. R. (May 1978). «Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 83 (3): 357–375. doi:10.1017/S0305004100054657. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2079092&fileId=S0305004100054657.

[4] Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.

[1]

[2]

[3]

[4]